| Γνωστική Περιοχή: | Άλγεβρας & Γεωμετρίας | ||
| Εξάμηνο: | 5ο | ||
| Κωδικός: | 52203 | ||
| Τύπος Μαθήματος: | Επιλογής | ||
| Ώρες Διδασκαλίας: | Θεωρία: 4 | Άσκηση: 0 | Εργαστήριο: 0 |
| ECTS : | 5 | ||
| Ιστοσελίδα Eclass: | |||
| Διδάσκοντες Μαθήματος: | |||
| Περίγραμμα μαθήματος: | Για να δείτε ή να αποθηκεύσετε το αρχείο πατήστε εδώ. | ||
Περιεχόμενο
- Γραμμικοί και συσχετισμένοι υπόχωροι. Κυρτά σύνολα, κυρτοί συνδυασμοί, κυρτή θήκη.
- Θεωρήματα Καραθεοδωρή, Helly, Radon. Εφαρμογές στη συνδυαστική γεωμετρία και τη θεωρία προσέγγισης.
- Γεωμετρία των Αριθμών: Πλέγματα, πρώτο θεώρημα του Minkowski, εφαρμογές στη θεωρία αριθμών, διαδοχικά ελάχιστα, δεύτερο θεώρημα του Minkowski.
- Κυρτά πολύτοπα, διαγράμματα Voronoi, διατάξεις υπερεπιπέδων.
- Κυρτές συναρτήσεις.
- Κυρτά σύνολα: Μετρική προβολή. Υπερεπίπεδα στήριξης. Διαχωριστικά θεωρήματα. Δυϊσμός. Συνάρτηση στήριξης και συνάρτηση στάθμης. Ακραία και εκτεθειμένα σημεία. Το θεώρημα των Minkowski-Krein-Milman. Εφαρμογές (πολύτοπο του Birkhoff, πολύτοπα μεταθέσεων, ανισότητες για ιδιοτιμές πινάκων).
- Κυρτά σώματα: Μετρική Hausdorff. Το θεώρημα επιλογής του Blaschke. Συμμετρικοποίηση κατά Steiner. Γεωμετρικές ανισότητες. Όγκος στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. «Παράδοξα» στις μεγάλες διαστάσεις. Ανισότητα Brunn-Minkowski. Ισοπεριμετρικά προβλήματα.
- Θέματα διακριτής γεωμετρίας: γεωμετρική θεωρία Ramsey (θεώρημα Erdos-Szekeres), προβλήματα σύμπτωσης (θεώρημα Szemeredi-Trotter), εμφυτεύσεις πεπερασμένων μετρικών χώρων σε χώρους με νόρμα.
Βιβλιογραφία
- Gruber P. M., Convex and Discrete Geometry, Springer, 2007, Κωδικός στον Εύδοξο : 177956.
- Webster R. J., Convexity, Oxford University Press, 1994.
- Matousek J., Lectures on Discrete Geometry, Springer, 2002.
Πρόσθετο Διδακτικό Υλικό
- Γιαννόπουλος Α., Σημειώσεις Κυρτής Γεωμετρικής Ανάλυσης, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ.
- Ball K. M., An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry, in “Flavors of Geometry”, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.
